Handige tips

Kruispunt van lijnen

wikiHow werkt volgens het principe van een wiki, wat betekent dat veel van onze artikelen zijn geschreven door verschillende auteurs. Bij het maken van dit artikel hebben 13 mensen (a) gewerkt aan de bewerking en verbetering ervan, inclusief anoniem.

Het aantal bronnen dat in dit artikel is gebruikt: 6. U vindt een lijst ervan onderaan de pagina.

In tweedimensionale ruimte snijden twee lijnen elkaar op slechts één punt dat wordt gedefinieerd door de coördinaten (x, y). Omdat beide lijnen door het snijpunt gaan, moeten de coördinaten (x, y) voldoen aan beide vergelijkingen die deze lijnen beschrijven. Met behulp van enkele extra vaardigheden, kunt u de snijpunten van parabolen en andere kwadratische krommen vinden.

Het snijpunt van twee lijnen op het vlak

Als het stelsel vergelijkingen:

  • Het heeft enige oplossingdan lijnen snijden elkaar,
  • Het heeft eindeloze oplossingendan lijnen komen overeen,
  • heeft geen beslissingendan rechte lijnen kruisen elkaar niet (rechte lijnen lopen evenwijdig aan elkaar)

oplossing: Om de coördinaten van het snijpunt van lijnen te berekenen, lossen we het stelsel vergelijkingen op:

y = 2 x - 1 y = -3 x + 1

Trek de tweede af van de eerste vergelijking

y - y = 2 x - 1 - (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x - 2 y = -3 x + 1

Uit de eerste vergelijking vinden we de waarde van x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0,4 y = -3 x + 1

Vervang de waarde van x in de tweede vergelijking en zoek de waarde van y

x = 0,4 y = -3 · (0,4) + 1 = -1,2 + 1 = -0,2

Het antwoord. Het snijpunt van twee lijnen heeft coördinaten (0.4, -0.2)

oplossing: Om de coördinaten van het snijpunt van lijnen te berekenen, lossen we het stelsel vergelijkingen op:

y = 2 x - 1 x = 2 t + 1 y = t

In de eerste vergelijking vervangen we de waarden van x en y uit de tweede en derde vergelijking.

t = 2 · (2 ​​t + 1) - 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = - 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Vervang de waarde van t in de tweede en derde vergelijking

t = - 1 3 x = 2 · (- 1 3) + 1 = - 2 3 + 1 = 1 3 y = - 1 3

Het antwoord. Het snijpunt van twee lijnen heeft coördinaten (1 3, - 1 3)

oplossing: Om de coördinaten van het snijpunt van lijnen te berekenen, lossen we het stelsel vergelijkingen op:

2 x + 3 y = 0 x - 2 3 = y 4

Uit de tweede vergelijking drukken we y uit in x

2 x + 3 y = 0 y = 4 x - 2 3

Vervang y in de eerste vergelijking

2 x + 3 · 4 · x - 2 3 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 2 x + 4 · (x - 2) = 0 y = 4 · x - 2 3 =>

2 x + 4 x - 8 = 0 y = 4 · x - 2 3 => 6 x = 8 y = 4 · x - 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4 · x - 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4 · 4/3 - 2 3 = 4 · -2/3 3 = - 8 9

Het antwoord. Het snijpunt van twee lijnen heeft coördinaten (4 3, - 8 9)

oplossing: Beide lijnen worden gegeven door vergelijkingen met een hoekcoëfficiënt. Sinds k 1 = k 2 = 2, dan zijn de lijnen parallel. Omdat deze lijnen niet samenvallen, zijn er geen snijpunten.

We zullen dit probleem ook oplossen met behulp van het stelsel vergelijkingen:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Trek de tweede af van de eerste vergelijking

y - y = 2 x - 1 - (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

In de eerste vergelijking kregen we een contradictie (0 ≠ -2), wat betekent dat het systeem geen oplossingen heeft - er zijn geen snijpunten van lijnen (lijnen zijn parallel).

Het antwoord. Lijnen snijden elkaar niet (lijnen lopen parallel).

oplossing: We vervangen de coördinaten van het punt N in de vergelijking van lijnen.

Het antwoord. Omdat beide vergelijkingen identiteiten zijn geworden, is het punt N het snijpunt van deze lijnen.

Het snijpunt van twee lijnen in de ruimte

Als het stelsel vergelijkingen:

  • heeft een unieke oplossing, dan kruisen de lijnen,
  • heeft een oneindig aantal oplossingen, dan vallen de lijnen samen,
  • heeft geen oplossingen, dan kruisen de lijnen niet (de lijnen lopen parallel of kruisen elkaar)

oplossing: We stellen een stelsel vergelijkingen samen

x - 1 = ay - 1 = az - 1 = ax - 3 -2 = b 2 - y = bz = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3 -2 = b 2 - y = bz = b =>

We vervangen de waarden van x, y, z van 1, 2, 3 vergelijkingen in 4, 5, 6 vergelijkingen

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3 -2 = b 2 - (a + 1) = ba + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 = b

Voeg de vijfde vergelijking toe aan de zesde vergelijking

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = ba + 1 + (1 - a) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = b 1 - a = bb = 1

We vervangen de waarde van b in de vierde en vijfde vergelijkingen

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 -2 = 1 1 - a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Het antwoord. De lijnen snijden elkaar op het punt met coördinaten (1, 1, 1).

oplossing: We stellen een stelsel vergelijkingen samen door de parameter t te vervangen door a in de tweede vergelijking

x = 2 t - 3 y = t z = - t + 2 x = a + 1 y = 3 a - 2 z = 3

We vervangen de waarden van x, y, z van 1, 2, 3 vergelijkingen in 4, 5, 6 vergelijkingen

x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t - 3 = a + 1 t = 3 a - 2 - t + 2 = 3 => x = 2 t - 3 y = tz = - t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a - 2 t = -1 =>

We vervangen de waarde van t uit de zesde vergelijking in de resterende vergelijkingen

x = 2 · (-1) - 3 y = (-1) z = - (- 1) + 2 2 · (-1) = a + 4 -1 = 3 a - 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Het antwoord. Sinds -6 ≠ 1 3 snijden de lijnen elkaar niet.

Het snijpunt van lijnen in de ruimte - theorie, voorbeelden en oplossingen

  • inhoud
  • 1. Het snijpunt van lijnen gegeven in canonieke vorm.
  • 2. Het snijpunt van lijnen gedefinieerd in een parametrische vorm.
  • 3. Het snijpunt van lijnen in verschillende vormen.
  • 4. Voorbeelden van het vinden van het snijpunt van lijnen in de ruimte.

1. Het snijpunt van lijnen in de ruimte gedefinieerd in canonieke vorm.

Laat een Cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel worden gegeven OXYZ en laat rechte lijnen worden gegeven in dit coördinatensysteem L1 en L2:

,(1)
,(2)

Zoek het snijpunt van lijnen L1 en L2 (Afb. 1).

We schrijven vergelijking (1) in de vorm van een systeem van twee lineaire vergelijkingen:

,(3)
(4)

Laten we elkaar vermenigvuldigen in vergelijkingen (3) en (4):

p1(XX1)=m1(YY1)
l1(YY1)=p1(zz1)

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

p1Xm1Y=p1X1m1Y1,(5)
l1Yp1z=l1Y1p1z1.(6)

Op dezelfde manier transformeren we vergelijking (2):

We schrijven vergelijking (2) in de vorm van een systeem van twee lineaire vergelijkingen:

,(7)
(8)

Laten we elkaar vermenigvuldigen in vergelijkingen (7) en (8):

p2(XX2)=m2(YY2)
l2(YY2)=p2(zz2)

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

p2Xm2Y=p2X2m2Y2,(9)
l2Yp2z=l2Y2p2z2.(10)

We lossen het stelsel van lineaire vergelijkingen (5), (6), (9), (10) op met drie onbekenden x, y, z. Stel je dit systeem in matrixvorm voor:

(11)

Hoe het systeem van lineaire vergelijkingen (11) (of (5), (6), (9), (10)) op te lossen, zie de online Gauss-methodepagina. Als het stelsel van lineaire vergelijkingen (11) onverenigbaar is, dan zijn de lijnen L1 en L2 niet kruisen. Als systeem (11) veel oplossingen heeft, dan de lijnen L1 en L2 overeenkomen. De enige oplossing voor het stelsel van lineaire vergelijkingen (11) geeft aan dat deze oplossing de coördinaten van het snijpunt van lijnen bepaalt L1 en L2 .

2. Het snijpunt van rechte lijnen in de ruimte gedefinieerd in een parametrische vorm.

Laat een Cartesiaans rechthoekig coördinatenstelsel worden gegeven OXYZ en laat rechte lijnen worden gegeven in dit coördinatensysteem L1 en L2 in parametrische vorm:

(12)
(13)

Het probleem van het vinden van het snijpunt van lijnen L1 en L2 kan worden opgelost met verschillende methoden.

Methode 1. We geven de vergelijkingen van lijnen L1 en L2 naar de canonieke vorm.

Om vergelijking (12) in een canonieke vorm te brengen, drukken we de parameter uit t via de rest van de variabelen:

(14)

Omdat de linkerkant van vergelijkingen (14) gelijk zijn, kunnen we schrijven:

(15)

Op dezelfde manier geven we de vergelijking van de lijn L2 tot canonieke vorm:

(16)

Gebruik vervolgens paragraaf 1 om het snijpunt van de lijnen in canonieke vorm te vinden.

Methode 2. Om het snijpunt van lijnen te vinden L1 en L2 los gezamenlijk vergelijkingen (12) en (13) op. Uit vergelijkingen (12) en (13) volgt het:

(17)
(18)
(19)

Uit elke vergelijking (17), (18), (19) vinden we de variabele t. Verder van de verkregen waarden t we kiezen die welke voldoen aan alle vergelijkingen (17) - (19). Als zo'n waarde t bestaat niet, dan kruisen de lijnen niet. Als er meer dan één dergelijke waarde is, vallen de lijnen samen. Als zo'n waarde t het enige dat deze opvatting vervangt t in (12) of in (13) verkrijgen we de coördinaten van het snijpunt van lijnen (12) en (13).

4. Voorbeelden van het vinden van het snijpunt van lijnen in de ruimte.

Voorbeeld 1. Zoek het snijpunt van lijnen L1 en L2:

(20)
(21)

We stellen vergelijking (20) voor in de vorm van twee vergelijkingen:

(22)
(23)

We zullen elkaar vermenigvuldigen in vergelijkingen (22) en (23):

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

We zullen hetzelfde doen met vergelijking (2).

We stellen vergelijking (2) voor in de vorm van twee vergelijkingen:

(26)
(27)

Kruisvermenigvuldiging in vergelijkingen (7) en (8)

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

We lossen het stelsel van lineaire vergelijkingen (24), (25), (28), (29) op met drie onbekenden x, y, z. Om dit te doen, vertegenwoordigen we dit systeem in de vorm van een matrixvergelijking:

(30)

We lossen het stelsel van lineaire vergelijkingen (30) op met betrekking tot x, y, z. Om het systeem op te lossen, construeren we een uitgebreide matrix:

Duiden door eenij de elementen ikde rij en jde kolom.

Eerste fase. De directe loop van Gauss.

Sluit de elementen van de 1e kolom van de matrix onder het element uit een1 1. Voeg hiertoe regel 3 met regel 1 maal -1 toe:

Sluit de elementen van de 2e kolom van de matrix onder het element uit een22. Voeg hiertoe regel 4 aan regel 2 toe −1/4:

Laten we een permutatie van regels 3 en 4 doen.

Tweede fase. Gauss terugslag.

Sluit de elementen van de 3e kolom van de matrix boven het element uit een33. Voeg hiertoe regel 2 toe aan regel 3 keer −4/3:

Sluit de elementen van de 2e kolom van de matrix boven het element uit een22. Voeg hiertoe regel 1 toe aan regel 2 maal 3/4:

Deel elke rij van de matrix door het bijbehorende leidende element (als het leidende element bestaat):

Het antwoord. Lijn kruispunt L1 en L2 heeft de volgende coördinaten:

Voorbeeld 2. Zoek het snijpunt van lijnen L1 en L2:

(31)
(32)

We geven de parametrische vergelijking van de lijn L1 naar de canonieke vorm. We drukken de parameter t uit in termen van de resterende variabelen:

Uit de bovenstaande gelijkheden verkrijgen we de canonieke vergelijking van de lijn:

(33)

We stellen vergelijking (33) voor in de vorm van twee vergelijkingen:

(34)
(35)

We doen kruisvermenigvuldiging in vergelijkingen (34 en (35):

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

(36)
.(37)

We zullen hetzelfde doen met vergelijking (2).

We stellen vergelijking (2) voor in de vorm van twee vergelijkingen:

(38)
(39)

Kruisvermenigvuldiging in vergelijkingen (38) en (39)

Open de haakjes en vertaal de variabelen naar de linkerkant van de vergelijkingen en de resterende elementen naar de rechterkant:

We lossen het stelsel van lineaire vergelijkingen (36), (37), (40), (41) op met drie onbekenden x, y, z. Om dit te doen, vertegenwoordigen we dit systeem in de vorm van een matrixvergelijking:

(42)

We lossen het stelsel van lineaire vergelijkingen (42) op met betrekking tot x, y, z. Om het systeem op te lossen, construeren we een uitgebreide matrix:

Duiden door eenij de elementen ikde rij en jde kolom.

Eerste fase. De directe loop van Gauss.

Sluit de elementen van de 1e kolom van de matrix onder het element uit een1 1. Voeg hiertoe regel 3 aan regel 1 toe −1/6:

Sluit de elementen van de 2e kolom van de matrix onder het element uit een22. Voeg hiertoe respectievelijk regel 3 en 4 toe met regel 2 maal 8/21 en −1/7:

Sluit de elementen van de 3e kolom van de matrix onder het element uiteen33. Voeg hiertoe regel 4 aan regel 3 keer -1/16 toe:

Uit de uitgebreide matrix reconstrueren we het laatste stelsel van lineaire vergelijkingen:

(43)

Vergelijking (43) is niet compatibel omdat getallen niet bestaan x, y, z bevredigende vergelijking (43). Daarom heeft het stelsel van lineaire vergelijkingen (42) geen oplossing. Dan rechtdoor L1 en L2 niet kruisen. Dat wil zeggen dat ze parallel of gekruist zijn.

rechtdoor L1 heeft een richtingsvector q1= <2,6,7> en de regel L2 heeft een richtingsvector q2= <3,1,1>. Deze vectoren zijn niet collineair. Vandaar direct L1 en L2 kruisen.

Bekijk de video: Kruispunten. Zo mis je nooit meer een kruispunt! (November 2019).