Handige tips

Hoe de kinetische energieformule af te leiden

Van welke meer algemene uitdrukking is de kinetische energieformule afgeleid?

De formule kan worden afgeleid uit de definitie van werk als het verschil in kinetische energieën A = Ek2-Ek1.

En formules: werk A = F * S (power * manier).

omdat F = m * a de A = m * a * S

Bovendien, van de kinematica-versnelling: a = (V2-V1) / t

S = (V2 + V1) * t / 2-pad met gelijkmatig versnelde beweging.

We vervangen deze hoeveelheden in de werkformule: A = m * ((V2-V1) / t) * ((V2 + V1) * t / 2)

we verminderen de uitdrukking met t en de haakjes met de som en het verschil in snelheden, we transformeren in het verschil van de vierkanten van snelheden:

We breiden de haakjes uit: A = m * V2 ^ 2/2 - m * V1 ^ 2/2.

Het verschil in de laatste formule komt dus overeen met de allereerste formule.

We verkrijgen formules voor kinetische energie op elk punt:

Ek2 = m * V2 ^ 2/2

Ek1 = m * V1 ^ 2/2

Eerst wordt de potentiële energieformule afgeleid, en de kinetische energieformule is er al van afgeleid. De formule van potentiële energie werd ontvangen door Isaac Newton in zijn beroemde boek "Mathematical Principles of Natural Philosophy". Hij redeneerde ruwweg als volgt.

Laat een voorwerp op mijn hand liggen. Ik zal de palm met het object zeer langzaam en gelijkmatig heffen, zodat de reactiekracht van de palm N in evenwicht wordt gehouden door de zwaartekracht van het object P, en de kinetische energie praktisch nul zou zijn vanwege de zeer lage snelheid. Waar gaat het werk A = INT (P dh) = mgh, wat ik over dit onderwerp doe, heen? Het wordt omgezet in de latente potentiële energie van het object, die kan veranderen in een duidelijke kinetische energie als het object vrij mag vallen.

Kijk nu naar de fout die Newton maakte. Als meerdere krachten F1, F2, F3 enzovoort tegelijkertijd op een object werken, moet u de totale kracht die door alle krachten samen wordt geproduceerd, berekenen door de resulterende kracht, en niet een van de specifieke krachten, onder het integrale teken te vervangen. En Newton omlijst privémacht, de kracht van gewicht. Omdat in het door hem beschouwde geval de resulterende kracht nul is (de gewichtskracht wordt gebalanceerd door de kracht van de palmreactie), zal een correcte berekening nul werk tonen. En als het werk nul is, verandert de energie van het object niet. En als het gelijk was aan nul bij het startpunt van de stijging, blijft het gelijk aan nul, ongeacht de hoogte van de stijging. Met andere woorden, potentiële energie bestaat niet in de natuur. Maar in de praktijk zijn we ons er terdege van bewust dat het tillen van een zwaar object gepaard gaat met de uitgave van energie. Dus de conclusie over nulwerk is verkeerd? Nee, hij heeft gelijk. Het is gewoon zo dat het werk niet wordt uitgevoerd aan het item dat wordt opgetild, maar aan iets anders. En de mgh-formule beschrijft niet de potentiële energie van een object, maar de energie van iets anders.

Nu wenden we ons tot kinetische energie. In de kinematica (de wetenschap van uniforme en niet-uniforme beweging) is er een dergelijke formule V1 V1 - V0 V0 = 2aS voor versnelde beweging, waarbij V0 de beginsnelheid is, V1 de uiteindelijke snelheid is, a is de versnelling, S is de lengte van de afgelegde weg. Als op het eerste moment van de tijd de snelheid van het object VO gelijk was aan nul, dan wordt het versnellingsproduct uitgedrukt door de lengte en gesubstitueerd in de potentiële energieformule, verkrijgen we mVV / 2, dat wil zeggen de kinetische energieformule. En nu zullen we redeneren. Als het mgh-complex niet de potentiële energie van het object beschrijft, maar iets anders, dan zal de daaruit verkregen formule mVV / 2 ook niet de kinetische energie van het object beschrijven, maar de energie van iets anders. En wat precies - ik zal het nu proberen uit te leggen.

Wanneer we een object verhogen, overwinnen we niet de weerstand van het object, maar van het zwaartekrachtsveld. Daarom zullen we werken aan het zwaartekrachtveld en de energie ervan verhogen met de waarde van E = mgh. En wanneer we een object gooien, vervormen we door de versnelde beweging de structuur van het fysieke vacuüm dat ons omringt, werken we eraan en verhogen we de energie ervan met E = mVV / 2. Dus, in plaats van potentiële energie, is er de energie van het zwaartekrachtsveld, en in plaats van kinetische energie is er de energie van een fysiek vacuüm.

9. Conservatieve en niet-conservatieve krachten. Het verband tussen kracht en

potentiële energie. Gradiënt van potentiële energie. De voorwaarde is

De scalaire energiebenadering in de mechanica is vooral vruchtbaar in het geval van de zogenaamde conservatiefinteracties, waarin het werk van stationaire krachten niet afhankelijk is van de vorm van het traject, maar alleen wordt bepaald door de begin- en eindposities van het lichaam.

de krachten van zwaartekrachtinteractie, de krachten van elasticiteit, maar niet de krachten van wrijving en weerstand, zijn conservatief. Voor conservatieve krachten kan men een dergelijke energiekarakteristiek introduceren alspotentiële energiewelke is een ondubbelzinnige functie van coördinaten (positie) en die, samen met kinetische energie - een functie van snelheden, de totale mechanische energie van het lichaam vormt (System).

In tegenstelling tot kinetische energie Enaar = m 2 2, wat een unieke, uniform uitgedrukte functie van snelheden is en in die zin een scalaire dynamische maat voor beweging, potentiële energie En - is een scalaire maat voor conservatieve interacties en heeft geen uniforme uitdrukking door de coördinaten (positie) van het lichaam.

Conservatieve krachten - krachten waarvan het werk niet afhankelijk is van de vorm van het traject waarlangs het lichaam beweegt en wordt bepaald aan de begin- en eindpunten van het traject, het werk van deze krachten in een gesloten lus = 0

Dissipatieve krachten - krachten waarvan het werk afhangt van de vorm van het traject waarlangs het lichaam beweegt.

De interactie in het resultaat van de kat tussen de lichamen resulteert in een zweet van kracht, dat wordt uitgevoerd door middel van een krachtzweetveld.

De relatie tussen kracht en potentiële energie. Gradiënt van potentiële energie.

Op het lichaam, waarvan de positie in het zweetveld wordt bepaald door de straalvector r: F = xi + yj + zk

Verloop - een operator die laat zien welke acties moeten worden uitgevoerd met een scalaire functie. Is een vector gericht op de snelste toename van de scalaire functie. Dan wordt de verbinding tussen F en En als volgt gevormd: kracht = gradEn genomen met het tegenovergestelde teken => F is gericht op de tegenovergestelde grad.

Krachten die alleen afhankelijk zijn van coördinaten (krachten die niet afhankelijk zijn van tijd, worden stationair genoemd), kunnen worden ingesteld met krachtvelden - ruimtes in de ruimte, op elk punt waarvan een bepaalde kracht op het lichaam inwerkt. Voorbeelden van krachtvelden zijn het zwaartekrachtveld en in het bijzonder het zwaartekrachtveld, het elektrostatische veld, enz.

Krachten (en velden), werkEen12die op het pad tussen twee willekeurige punten 1 en 2 niet afhangt van de vorm van het traject daartussenworden genoemd potentieel, en als ze stationair zijn, worden ze opgeroepenonservativnymi. Potentieel is alles uniform velden (op elk punt van dergelijke velden is de kracht ongewijzigd), evenals velden centrale krachten (ze hangen alleen af ​​van de afstand tussen de op elkaar inwerkende punten en zijn gericht langs de rechte lijn die ze verbindt).

We verkrijgen de formule voor de relatie tussen de sterkte van dergelijke velden en potentiële energie. Uit de relatie van werk met potentiële energie A12 = Fdr = En1 - En2 , of, voor elementair werk: А = Fdr = - dЕn. Indachtig dat Fdr = Fsds, waarbij ds = dr is het elementaire pad / verplaatsing /, en Fr = Fcos  - projectie van de vector F verplaatsen drschrijven: Frds = - dЕnwaar - dЕn - er is een afname van potentiële energie in de verplaatsingsrichting dr. Vanaf hier fr= - Еnr, de gedeeltelijke afgeleide r wordt in een bepaalde richting genomen.

In vectorvorm kan de resulterende differentiële relatie van kracht met potentiële energie als volgt worden geschreven:

F = -(ikEnx + jEnU + kEnz) = - grad Еn = - Enwaar de symbolische vectoroperator (de vectorsom van de eerste gedeeltelijke afgeleiden met betrekking tot ruimtelijke coördinaten) wordt de Nabl-operator of genoemd helling scalaire functie (in dit geval potentiële energie).

Dus kracht F = - grad En = - En in het potentiaalveld is er een anti-gradiënt / gradiënt met een minteken / potentiële energie, of anders - de ruimtelijke afgeleide, de snelheid van afname van potentiële energie in de ruimte in een bepaalde richting.

De betekenis van de gradiënt kan worden verduidelijkt door het concept e te introducerenpotentieel oppervlak - in allemaal punten waarvan potentiële energie Enheeft dezelfde betekenis, d.w.z.. En=const.

Uit de formule F = - En hieruit volgt dat de projectie van de vector F naar de richting van de raaklijn aan het equipotentiale oppervlak op elk punt gelijk aan nul. Dit betekent dat de vector F normaal tot equipotentiaal oppervlak En = const.

Als, verder, neem de dr drnvervolgens dЕn 0, d.w.z. een vector F naar beneden gericht En. Het verloop van En er is een vector loodrecht op het equipotentiaaloppervlak in de richting van de snelste toename van de scalaire functie / hier - potentiële energie /.

Door het voorbeeld van een zwaartekrachtveld, waarvan de kracht recht evenredig is met de massa van het lichaam, d.w.z. F = m1m2r 2, we kunnen aannemen dat elk van de interacterende lichamen zich in het krachtveld van de ander bevindt: F = mМr 2 = gm, waarbij g = Fm = Мr 2 de zwaartekrachtveldsterkte / specifiek is kracht - berekend per massa-eenheid / gecreëerd door een lichaam met massa M.

Uit de relatie van kracht met potentiële energie volgt:

of  gdr = 1 - 2 waar  = En/ m is het potentieel van het zwaartekrachtveld, dat is de specifieke / per eenheid massa / potentiële energie.

of g = - grad  = -  is de formule voor de relatie tussen spanning en het potentieel van het zwaartekrachtveld, spanning is de antigradiënt van het potentieel.

Laat het deeltje bewegen in een eendimensionaal potentiaalveld waarvan het profiel, d.w.z. de afhankelijkheid En (x) wordt in de figuur gepresenteerd in de vorm van de zogenaamde potentiële curve.

Uit de wet van behoud van mechanische energie: E = Enaar + En = m 2 2 + En/ x / = const volgt dat in de regio waar En > E-deeltje kan het niet krijgen. Dus als de totale energie E van een deeltje gelijk is aan E1 / zien fig. /, dan kan het deeltje bewegen in het gebied  tussen de x-coördinaten1 en x2 (oscilleert in dit gebied, de potentiële bron genoemd), of in het gebied , rechts van de x-coördinaat3. Maar het deeltje kan niet van regio I naar regio II gaan of vice versa, een potentiële barrière van hoogte E voorkomt ditb  E1deze gebieden scheiden.

Deeltje met energie E2grotere hoogte van de potentiële barrière (E2  Eb), kan in het hele gebied rechts van x worden verplaatstover. De kinetische energie zal toenemen (in het gebied van xover tot x ), dan vallen (in het gebied van x  tot x ) en vervolgens weer toenemen in het gebied x  x .

Op het punt x is er een stabiel evenwicht, hier En = En min en FX = -gradX En = - Еnх = 0. Wanneer een lichaam wordt verplaatst door dx  0, dЕn  0 en de kracht werkt op het lichaam

FX = - Еnx  0, wat een karakter is dat het lichaam terugbrengt naar de evenwichtspositie.

Op het punt x is er een onstabiel evenwicht,

hier En = En max en F = - grad En = - Еnх = 0. Wanneer een lichaam wordt verplaatst door dx  0, dЕn  0, en de kracht F werkt op het lichaamX = - Еnх  0, die een karakter heeft dat het lichaam afwijkt van de evenwichtspositie.

Bekijk de video: Natuurkunde uitleg Energie 6: KinetischeBewegingsenergie (Januari- 2020).